Богданов
К.Ю. (kbogdanov1@yandex.ru)
Электростатика заряженных бусинок
...Все предсказания электростатики следуют из двух её законов. Но одно дело высказать эти вещи математически, и совсем другое — применять их с легкостью и с нужной долей остроумия.
Ричард Фейнман (ФЛФ, т.5, c.90, Москва, Мир, 1966)
Электростатика – казалось бы, самый простой раздел электродинамики, особенно, если зарядов мало и знаешь, где они расположены и фиксированы. Но во многих случаях, как только заряды перестают быть фиксированными, они, отталкиваясь или притягиваясь друг к другу, начинают двигаться, и все вместе пытаются найти устойчивое положение равновесия, соответствующее минимуму потенциальной энергии системы. Можно доказать, что, если на заряженные тела действуют только кулоновские силы, то никакого устойчивого положения равновесия у системы из одноименно заряженных тел не существует – они просто разлетятся в разные стороны. С другой стороны, если позволить одноимённо заряженным телам скользить только вдоль определённых кривых или поверхностей, то эта система, в конце концов, может найти состояние устойчивого равновесия. Найти распределение этих зарядов вдоль заданных кривых или поверхностей и является задачей электростатики.
Р. Фейнман (Фейнмановские лекции по физике, ФЛФ, т.5, стр. 120, Москва, Мир, 1966) подчёркивал, что найти распределение зарядов на поверхности произвольного проводника - это вопрос, математически трудный, если мы знаем только форму и суммарную величину заряда проводника. Однако «у природы есть время решать его; заряды отталкиваются и притягиваются до тех пор, пока не уравновесятся взаимно». Около 50 лет назад, когда были написаны ФЛФ, не было возможности смоделировать с помощью компьютера процесс распределения зарядов вдоль заданных кривых, предшествующий возникновению электростатического поля. Сейчас с появлением мощных компьютеров это вполне можно сделать. Давайте, попробуем.
Заряженные бусинки, скользящие по окружности
Пусть одинаково заряженные бусинки, нанизанные на изолированную проволоку, имеющую форму окружности и находящуюся в горизонтальной плоскости, сначала фиксированы в произвольных её точках (см. рис.1), а потом «отпущены на свободу», обладая некой величиной потенциальной энергии. Предоставленные сами себе бусинки начнут отталкиваться друг от друга и метаться по проволоке в разные стороны. Со временем, сила трения съест часть энергии системы, и бусинки станут совершать колебания около найденных положений устойчивого равновесия, а потом и вообще остановятся в точках, соответствующих минимуму потенциальной энергии системы. Из соображений симметрии следует, что минимум потенциальной энергии системы для одинаково заряженных бусинок, скользящих по окружности, соответствует тем случаям, когда бусинки располагаются на одинаковом расстоянии друг от друга (см. рис.1).
Рисунок 1. Голубые заряженные бусинки, способные скользить вдоль окружности до (слева) и после (справа) успокоения.
Теоретически предсказать, в каких именно точках остановятся бусинки, зная их начальное расположение и силу трения, автору не удалось, хотя, очевидно, какая-то зависимость от начальных условий всё-таки может быть. Например, если мы изначально поместили бусинки на одинаковом расстоянии, то они никуда и двигаться не будут. Или, например, случай с нечётным числом бусинок, симметрично расположенных относительно средней (см. бусинку C на рис.1). В этом случае, очевидно, средняя бусинка двигаться вообще не будет, т.к. результирующая сил, действующих со стороны остальных бусинок, всегда будет равна нулю. Это даёт возможность предсказать положения всех остальных бусинок после окончания их «беготни» по окружности. В случаях, когда сначала заряженные бусинки по окружности были распределены произвольно, определить их конечные (электростатические) положения может помочь только компьютер.
Зовём на помощь компьютер и программиста
Алгоритм программы, позволяющей вычислять положения N пронумерованных бусинок с зарядом q и массой m, скользящих с трением по плоской кривой, расположенной в горизонтальной плоскости и заданной аналитически (каким-нибудь уравнением), состоит из повторяющихся циклов операций:
1) вычисляем расстояния между всевозможными парами бусинок,
2) вычисляем результирующую Fi кулоновских сил, действующих на данную бусинку с номером i со стороны остальных бусинок,
3) находим проекцию Fi на касательную к кривой, по которой скользят бусинки, в точке, где находится бусинка i, и вычитаем из неё силу трения,
4) с помощью второго закона Ньютона находим величину ускорения для бусинки i,
5) повторяем операции 2-4 для всех бусинок,
6) по вычисленным величинам ускорений, зная начальные значения координат бусинок и их скоростей, находим для каждой бусинки её новое положение и значение скорости через интервал времени Dt,
7) отмечаем на дисплее новые положения бусинок и переходим к 1).
По алгоритму, приведённому выше, автором были написаны несколько программ для разного числа бусинок (от 2 до 300) и различных кривых (окружностей, полуокружностей, эллипсов, полуэллипсов, отрезков прямых, треугольников, четырёхугольников и т.д.). Программы были написаны на языке Visual Basic. Наблюдая с помощью этих программ, как успокаиваются заряженные бусинки перед тем, как остановиться, сразу понимаешь, что не всё так просто даже в этом примитивном мире заряженных бусинок.
Заряженные бусинки на полуокружности
Если произвольно разместить бусинки на проволоке, согнутой в виде окружности, то через некоторое время они обязательно окажутся на одинаковом расстоянии друг от друга (см. программу Круг-80.exe). Таким образом, их плотность будет одинакова вдоль периметра круга. В дальнейшем относительной плотностью (П) бусинок на краях проволоки будем называть отношение среднего расстояния между ними к расстоянию между двумя крайними бусинками.
А что будет, если разместить заряженные бусинки на проволоке, согнутой в виде полукруга, не давая им соскальзывать с этой проволоки. Как показывают результаты моделирования (см. программу Полукруг-40.exe), в этом случае успокоившиеся бусинки концентрируются вблизи концов проволоки, как это показано на следующем рисунке (рис. 2). При этом для числа бусинок N=40 их плотность П на концах полукруглой проволоки в 1,513 раза превышает среднюю величину плотности. Аналогичное моделирование для N от 4 до 240 показало, что и в этих случаях плотность бусинок на краях превышает среднюю, и, чем больше N, тем больше значение П (см. рис.3).
Рисунок 2. Внизу показано распределение голубых бусинок (N=41) по проволоке, имеющей вид полукруга. Верх – зависимость относительной плотности бусинок, р от угла a, определяющего их положение на полукруге; красная прямая – средняя величина.
Рисунок 3. Зависимость относительной плотности (П) бусинок на концах полукруга от числа бусинок, N
Смотрим на рисунки 2 и 3 и рассуждаем
Таким образом, следя за поведением заряженных бусинок, скользящих по проволоке, согнутой в полукруг, мы обнаружили их способность скапливаться вблизи концов этой проволоки. Очевидно, что мы не открыли ничего нового. О том, что плотность зарядов всегда больше на острие проводника рассказывают нам многие учебники и демонстрируют эксперименты. Однако моделирование сделано не впустую. Нам удалось найти зависимость превышения П плотности бусинок у острия (конца проволоки) над средней от числа N бусинок. Оказалось, что с ОЧЕНЬ большой точностью (R2=0,9997) зависимость П от N можно описать следующей зависимостью:
Поражает красота зависимости (1). Выходит, что увеличение относительной плотности зарядов на конце полукруглой проволоки, зависит ТОЛЬКО от ЧИСЛА зарядов на ней. Автор поставил специальные эксперименты и показал, что вид зависимости, р(a), изображённый на рис.2 и соответствующие величины П не зависят от масс и величины заряда бусинок. Не зависит р(a) и от радиуса окружности, как и от коэффициента трения бусинок о проволоку.
Зависимость (1) описывает один из краевых эффектов – увеличение плотности зарядов на острие. Чтобы упростить изучение этого эффекта, смоделируем поведение одноимённо заряженных бусинок, способных скользить с трением по отрезку прямой.
Заряженные бусинки на отрезке прямой
Очевидно, что, если бусинок только две, то после успокоения они окажутся в противоположных концах отрезка прямой. Если бусинок три, то две крайние окажутся на краях отрезка, а средняя точно в его середине. Ну, а если бусинок четыре, то сразу определить места их успокоения не получается (см. рис.4). Ясно одно, что расстояние между крайними бусинками должно быть меньше, чем между средними.
Рисунок 4. Четыре бусинки, способные скользить только по отрезку прямой, после успокоения оказываются в точках, РАЗНОудалённых друг от друга.
Действительно, например, на бусинку №2 слева «давит» только бусинка №1, а справа - №3 и №4 (см. рис.4). Поэтому бусинка №2 и смещается чуть-чуть влево. То же происходит и бусинкой №3, которая вынуждена сместиться слегка вправо. Если считать бусинки точечными, то с помощью Excel можно легко решить уравнение для баланса кулоновских сил, действующих одну из средних бусинок. Окажется, что расстояния между крайними бусинками составляет ≈ 0,31926 длины отрезка, а расстояния между средними ≈0,36148. Другими словами, расстояние между крайними бусинками будет меньше средней величины на 4,22 %. Казалось бы, очень малые различия, но посмотрим, что происходит при увеличении числа бусинок?
Аналогичным образом можно вычислить расстояния, соответствующие успокоению 5-ти заряженных бусинок на отрезке прямой. Крайние бусинки будут отстоять на расстоянии ≈ 0,23025 длины отрезка, а расстояния между средними ≈0,26975. В этом случае расстояние между крайними бусинками будет меньше средней величины уже на 7,9 %.
Рисунок 5. Распределение 60 одинаково заряженных голубых бусинок вдоль длины отрезка прямой после их успокоения (внизу). По оси ординат отложено отношение плотности бусинок к их среднему значению, обозначенному красной прямой. Видно, что вблизи краёв отрезка плотность возрастает.
С помощью программ «Отрезок-60» проследим, как успокаиваются 60 заряженных бусинок на отрезке прямой. На рисунке 5 построено распределение относительной плотности успокоившихся бусинок вдоль отрезка прямой, по которому они могут скользить. Видно, что максимальное значение относительной плотности бусинок, как и следовало ожидать, наблюдается на краях отрезка. Однако в данном случае плотность бусинок на краях уже почти в 1,8 раза превышает её значение в середине отрезка и в 1,6 раз больше их средней плотности (см. красную прямую). А какой же будет относительная плотность бусинок на краях, если их число будет, например, 100 000?
К сожалению, если заставить обычный персональный компьютер моделировать взаимодействия 100 000 бусинок, то мы вряд ли дождёмся окончания работы программы, т.к. длительность работы программы пропорциональна N2, где N – число бусинок. И если 100 бусинок успокаиваются на моём компьютере за минут 5-10, то значит, для успокоения 100 000 бусинок потребуется не меньше 5·106 минут или около 10 лет.
К счастью, есть ещё один способ узнать, что будет при N = 100 000. Найдём сначала закон, по которому увеличивается относительная плотность бусинок на краю при росте N в диапазоне от 3 до 160, а потом подставим в этот закон N=100 000, допустив, что никаких качественно новых взаимодействий между бусинками не возникает при росте их числа.
Рисунок 6. Зависимость относительной плотности (П) бусинок на концах отрезка от числа бусинок, N
На рис. 6 показано, как растёт относительная плотность бусинок на краю при росте N. Красная кривая показывает почти идеальную (r2=0,9994) аппроксимацию этой зависимости логарифмической кривой:
Очевидно, что уравнение (2) можно преобразовать в:
Подставляя в (3) N = 100 000, получаем П≈3,07. Таким образом, увеличение числа бусинок в 1000 раз увеличило их относительную плотность на краю всего на 70%!
Пытаемся объяснить формулы (1-3)
Если посмотреть в учебники, то можно увидеть, что линейная плотность заряда l распределена вдоль тонкого проводящего стержня длиной 2а по следующему закону (см. рис.7 ниже):
где x – расстояние от середины стержня, а Q – его общий заряд.
Рисунок 7. Теоретическая зависимость линейной плотности l заряда вдоль тонкого проводящего стержня длиной 2а от расстояния х от его середины (см. формулу 4). Q - суммарный заряд стержня. Пунктир – средняя величина плотности заряда.
Сравнивая экспериментальную зависимость, полученную нами (рис. 5), с теоретической (рис. 7), замечаешь:
(1) меньшие величины относительной плотности в середине у теоретической кривой,
(2) бóльшие значения на краях у теоретической кривой,
(3) на краях у теоретической кривой относительная плотность стремится к бесконечности.
Постараемся вывести из теоретической формулы (4) аппроксимацию экспериментальных данных для зависимости превышения П плотности на краях от числа заряженных бусинок (см. формулу 3). Пусть заряд Q состоит N бусинок. Найдём диапазон (а-в, а) на оси х рисунка 7, где сосредоточен заряд, равный Q/N. Для этого проинтегрируем правую часть формулы (4) в диапазоне (а-в, а) , приравняем полученное выражение Q/N, а потом найдём величину в. Зная в, можно найти плотность бусинок на краю. Итак:
Так как плотность бусинок на краю равна 
, а их средняя плотность - 
, то для П получаем:
На рисунке 8 построена теоретическая зависимость (5) для N, лежащих в диапазоне 3-160 и для сравнения приведена полученная нами экспериментальная кривая (рис.6).
Рисунок 8. Теоретическая зависимость относительной плотности П воображаемых бусинок на краю отрезка прямой от их числа N (зелёная кривая). Для сравнения приведена экспериментальная кривая (красная), полученная нами при моделировании. В зелёном прямоугольнике приведена теоретическая зависимость для больших N.
Как показывают кривые на рис.8, «теоретические» формулы (4-5), не позволяют описать полученные «экспериментальные» данные. Почему? По-видимому, из-за того, что теоретическая кривая была получена в результате решения уравнения Пуассона при обычных граничных условиях – поверхность проводящего стержня выбрана эквипотенциальной, а заряд, просто, «размазан» по его поверхности. Другими словами, дискретность заряда не учитывается.
Вернёмся к нашему случаю – заряженные бусинки, скользящие по изолированной проволоке. Возьмём одну бусинку и поместим её где-нибудь на проволоке. Очевидно, что она там останется, хотя уравнение (4) подсказывает ей совсем другое – быть одновременно во многих местах, но с большей вероятностью на краях.
Возьмём две бусинки и поместим их в произвольных местах на проволоке. Отталкиваясь друг от друга, они, в конце концов, расположатся в противоположных концах проволоки, хотя уравнение (4) и соответствующий график (7) требует их частичного присутствия везде. Три бусинки, бегая друг от друга, через некоторое время поделят проволоку на две равные части – две по краям и одна посередине. Таким образом, дискретность электрического заряда в реальной жизни делает формулу (4) не применимой для малого числа N зарядов-бусинок.
Итак, похоже, чтобы определить реальное распределение МАЛОГО числа зарядов-бусинок, скользящих по изолированной проволоке, нельзя, просто, решать уравнения Пуассона, забывая о дискретности заряда.
Очевидно, что использование классического подхода (недискретный заряд и уравнения Пуассона с предположениями об эквипотенциальности неких поверхностей) даёт во много раз завышенные оценки для плотности зарядов-бусинок на концах проволок.
Электростатика бусинок:
влияние размерности модели
Модель скользящих бусинок – одномерная. Уравнения Пуассона – трёхмерные. Поэтому можно ожидать, что формулы (4-5) станут справедливы для бусинок, когда мы сделаем нашу модель трёхмерной. Другими словами, пусть наша модель представляет собой систему из К параллельных проволок одинаковой длины с одинаковым числом N на каждой. При этом расстояние между соседними параллельными проволоками равно среднему расстоянию между бусинками на каждой из них (см. рисунок 9 внизу).
Рисунок 9.
Схематическое изображение одной (К=1), двух (К=2), трёх (К=3) и четырёх (К=4)
параллельных проволок с 9 заряженными бусинками.
Учитывая взаимодействие между всеми N*K зарядами этой системы проволок, было вычислено распределение относительной плотности бусинок вдоль оси такой системы. Моделирование показало, что при увеличении числа проволок в системе выраженность краевого эффекта (относительная плотность бусинок на краю, П) постепенно растёт – с 1,47 (К=1) до 2,18 (К=4).
Можно увеличивать число проволок К, «упаковывая» их так, что поперечное сечение системы будет напоминать гексагональную решётку. Центральная проволока такой системы окружена 6-ю ближайшими проволоками и т.д. Для таких систем можно легко с помощью компьютерного моделирования найти стационарное распределение заряженных бусинок, если считать, что оно будет одинаково для всех проволок. На самом деле, это предположение становится справедливым для больших K. На рисунке 10 показано распределение бусинок для гексагональной системы проволок при К=7.
Рисунок 10. (а)
распределение относительной плотности 210 одинаково заряженных бусинок вдоль
оси системы из 7 проволок с 30 бусинками на каждой из них после их
«успокоения». По оси ординат отложена плотность бусинок по отношению к их
среднему значению, обозначенному красной прямой; (в) то же распределение для
одномерного случая (N=30,
К=1).
Оказалось, что при К=7 и N=30 П=2,696, т.е. увеличивается почти в 2 раза, по сравнению с К=1 (см. рис.6). Видно (см. рис. 10), что относительная плотность бусинок для К=7 растёт гораздо круче с приближением к краю, чем это было для К=1.
Оставив число бусинок на каждой проволоке тем же (N=30), сделаем систему проволок более объёмной, увеличив количество проволок К до 19. Как показали расчёты (см. рис. 11) при К=19 П вырастает до 4,139, а для К=37 П=5,445.
Рисунок 11. (а)
распределение относительной плотности 570 одинаково заряженных бусинок вдоль
оси системы из 19 проволок с 30 бусинками на каждой из них после их
«успокоения» их успокоения. По оси ординат отложена плотность бусинок по
отношению к их среднему значению, обозначенному красной прямой; (в) то же
распределение для одномерного случая (N=30, К=1).
Ещё большее утолщение системы проволок (К=61) даёт П=6,614 (рис.12). Несмотря на то, что к увеличением К величины П растут, они всё же остаются меньше тех, которые даёт формула (5).
Рисунок 12. (а)
распределение относительной плотности 1830 одинаково заряженных бусинок вдоль
оси системы из 61 проволок с 30 бусинками на каждой из них после их
«успокоения» их успокоения. По оси ординат отложена плотность бусинок по
отношению к их среднему значению, обозначенному красной прямой; (в) то же
распределение для одномерного случая (N=30, К=1).
Однако, для N=10 при К=61 эти значения уже совсем близко – экспериментальное П= 4,114, а теоретическое – 4,09. При увеличении «толщины» системы проволок (К=127, N=20) П=7,3, что очень близко к «теоретическому» значению (П=8,1), даваемому формулой (5). Таким образом, чем больше проволочек с заряженными бусинками, тем ближе их распределение к «теоретическому».
Естественно предположить, что относительное увеличение плотности бусинок на краю будет расти не только при переходе от одномерной модели к трёхмерной, но и при переходе от одномерной к двумерной (плоской). Это предположение было проверено на системе параллельных проволок, лежащих в одной плоскости (рис.13).
Рисунок 13. Схематическое изображение плоской
системы проволок (К=12) с заряженными бусинками (голубые).
Моделирование для N=30 показало, что при переходе от одномерной модели
(К=1) к плоской (К=45) относительное увеличение плотности на краю
(П) растёт от 1,47 до 3,9. Таким образом, выраженность краевого эффекта
в модели заряженных бусинок увеличивается с размерностью модели при переходе от одномерной к плоской. Формула (5) даёт для трёхмерной
модели и N=30 величину П=12,2. Влияние размерности модели на относительную
величину краевого эффекта П показано на рис. 14.
Рисунок 14. Влияние
размерности модели на относительную величину краевого эффекта П для N=30.
Аннотация
С помощью моделирования было изучено движение одинаковых одноимённо заряженных бусинок, скользящих с трением по проволоке в горизонтальной плоскости, при условии, что соскочить с проволоки они не могут. При этом проволока может быть замкнутой или нет. Задавая массу, заряд и коэффициент трения, через каждый малый интервал времени по законам Ньютона и Кулона вычисляли сначала ускорение, потом скорость и положение каждой бусинки. Бусинки двигались, отталкиваясь друг от друга, а потом, когда сила трения постепенно съедала их кинетическую энергию, останавливались в местах, соответствующих минимуму потенциальной энергии зарядов. Так определяли электростатическое распределение зарядов вдоль кривой любого профиля.
Было изучено движение и успокоение заряженных бусинок на самых различных кривых (окружностях, полуокружностях, эллипсах, полуэллипсах, треугольниках, прямоугольниках, многоугольниках, отрезках прямых и т.д.). Наиболее интересные данные получились для отрезков прямых.
Если поместить на прямую проволоку N заряженных бусинок и измерять их плотность вдоль этой проволоки после того, как они успокоятся, то плотность у концов проволоки оказывается больше, чем в середине. Это и следовало ожидать, а иначе громоотвод Франклина, просто, не работал бы.
В соответствии с классической формулой (4), пренебрегающей дискретностью зарядов, относительная плотность у концов проволоки бесконечно растёт и зависит от общего её заряда. По результатам моделирования, сделанного в настоящей работе, - заряды бегают друг от друга пока не остановятся - краевое увеличение плотности зарядов зависит только от ЧИСЛА зарядов. Таким образом, в мире одной размерности и малого числа зарядов нельзя пользоваться теми же методами вычисления, что в мире двух или трёх измерений. Эквипотенциальность в мире одного измерения исчезает, а дискретный характер электрического заряда вылезает наружу.
Отзывы можно оставить в ГОСТЕВОЙ книге
См. остальные веб-страницы и сайты К.Ю. Богданова:
Почему у блика на фото несколько лучей?
Антибликовые очки и ЖК-дисплей
Что заставляет женщин вилять бёдрами?
Почему кучевые облака плоские снизу?
Ночным поездом по коническим сечениям
